Differentialgleichung Bedeutung, Erklärung und Definition.
Eine Differential- bzw. Differenzialgleichung (oft mit DGL abgekürzt), ist eine Gleichung, die die Funktion selbst enthalten kann, aber mindestens eine oder mehrere Ableitungen dieser Funktion (y', y" usw.) enthält.Eine Vielzahl von Phänomenen in Natur und Technik kann durch Differentialgleichungen und darauf aufbauende mathematische Modelle beschrieben werden. Einige typische Beispiele sind:
- in der Physik verschiedenste Arten von Bewegungen, von Schwingungen oder das Belastungsverhalten von Bauteilen,
- in der Astronomie die Bahnen der Himmelskörper und die Turbulenzen im Innern der Sonne,
- in der Biologie etwa Prozesse bei Wachstum, bei Strömungen oder in Muskeln.
| Table of contents |
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2 Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen 3 Beispiele von Differentialgleichungen 4 Siehe auch |
Lösungsmethodik von Differentialgleichungen
Um eine DGL zu lösen (in diesem Kontext spricht man auch von integrieren), muss eine Funktion gefunden werden, die mit ihren Ableitungen der Gleichung genügt. Die dazu notwendige Methodik ist für jeden Gleichungstyp verschieden (siehe Beispiele unten) und beschäftigt die Mathematiker seit dem 17. Jahrhundert. Auch die Eigenschaften dieser Lösung(en) hängen vom Gleichungstyp ab - z.B. die Frage, ob es Mehrdeutigkeiten gibt oder ob überhaupt eine Lösung existiert.
Als einfaches, lineares Beispiel möge die Differentialgleichung
- ,
Wenn eine längere DGL linear ist, wird sie in kürzere Gleichungen zerlegt und deren einzelne Lösungen addiert. Dieses Verfahren wird oft auch als Trennung der Variablen bezeichnet.
Nichtlineare Gleichungen können zwar nicht auf diese einfache Art zerlegt werden, doch findet man verschiedene Techniken in Formelsammlungen oder in mathematischen Computerprogrammen.
Oft werden auch Lösungen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung gesucht, die auf dem Rand des Definitionsbereiches bestimmte Funktionswerte annehmen sollen. Diese wichtige Klasse von Problemstellungen wird unter dem Begriff Randwertprobleme (RWP) oder Randwertaufgabe (RWA) behandelt.
Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen
Die Haupttypen von Differentialgleichungen sind
Die in der Differentialgleichung gesuchte Funktion f kann von einer Variablen x oder mehreren (x = (x1, x2, ..., xn) in Vektorschreibweise) abhängen. Im ersten Falle spricht man von einer gewöhnlichen Differentialgleichung, im letzteren Falle von einer partiellen Differentialgleichung. Hierbei ist implizit angenommen, dass Ableitungen nach allen vorkommenden Variablen auftreten; andernfalls spricht man von Parametern. Aus dem Englischenen kommend werden die Abkürzungen ODE (ordinary differential equation) und PDE (partial differential equation) für gewöhnliche und partielle Differenzialgleichungen benutzt.
Weiterhin ist es in der Theorie der Differentialgleichungen üblich, auch Systeme von Differentialgleichungen als "Differentialgleichung" aufzufassen. Solche Systeme liegen vor, wenn in mehreren Gleichungen gleichzeitig mehrere Funktionen und deren Ableitungen zusammenwirken.
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Im folgenden sind wichtige Differentialgleichungen aufgelistet, für die jeweils eigene Artikel existieren.
Gewöhnliche DGLen
Partielle DGLen
Siehe auch