Goldener Schnitt Bedeutung, Erklärung und Definition.

Der Goldene Schnitt (lat sectio aurea) ist ein bestimmtes VerhĂ€ltnis zweier Zahlen, meist LĂ€ngen von Strecken, das in der Kunst und Architektur oft als ideale Proportion und als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen wird. DarĂŒber hinaus tritt es auch in der Natur in Erscheinung und zeichnet sich durch eine Reihe interessanter mathematischer Eigenschaften aus. Weitere verwendete Bezeichnungen sind stetige Teilung und göttliche Teilung (lat proportio divina).

Table of contents

1 Definitionen und Grundeigenschaften 2 Geometrisches 2.1 Vergleich mit anderen TeilungsverhÀltnissen 2.2 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal 2.3 Pentagramm 2.4 Goldene Spirale 2.5 Goldener Schnitt im Ikosaeder 3 Historisches 4 Architektur 5 Kunst 6 Musik 7 Biologie 7.6 Proportionen des menschlichen Körpers 7.7 Botanik 8 Astronomie 9 Physik 10 Mathematische Eigenschaften 10.8 Herleitung des Zahlenwertes 10.9 Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen 10.10 Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen 10.11 Weitere mathematische Eigenschaften 11 Literatur 12 Weblinks

Definitionen und Grundeigenschaften

• Zwei Strecken stehen im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes, wenn sich die grĂ¶ĂŸere zur kleineren verhĂ€lt wie die Summe aus beiden zur grĂ¶ĂŸeren (siehe Abbildung). Dieses VerhĂ€ltnis wird meist mit dem griechischen Buchstaben Ί (Phi) bezeichnet. Bezeichnet man die lĂ€ngere Strecke mit a und die kĂŒrzere mit b, dann gilt damit

Daraus ergibt sich fĂŒr Ί (siehe unten)

• Ί ist eine irrationale Zahl. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die irrationalste aller Zahlen ist. Das bedeutet, dass sie sich nur schlecht durch ein VerhĂ€ltnis zweier ganzer Zahlen annĂ€hern lĂ€sst, ein Umstand, der wesentlich zu ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beitrĂ€gt.

• Subtrahiert man die kĂŒrzere der beiden Strecken von der lĂ€ngeren, so erhĂ€lt man eine Strecke, die zur kĂŒrzeren wiederum im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes steht. Die Bezeichnung stetige Teilung bezieht sich auf den Umstand, dass dieser Vorgang beliebig oft wiederholbar ist und dabei stets das selbe VerhĂ€ltnis liefert.

• Ein Rechteck, dessen SeitenverhĂ€ltnis dem Goldenen Schnitt gehorcht, bezeichnet man als Goldenes Rechteck. Ebenso nennt man gleichschenklige Dreiecke, bei denen zwei Seiten in diesem VerhĂ€ltnis stehen, Goldene Dreiecke.

• Eine wichtige Rolle spielt auch der so genannte Goldene Winkel (Psi), der den Winkel von 360° im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes teilt. Meist wird der kleinere der beiden Teilwinkel angegeben, sodass gilt

.

• In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...,

die auf Leonardo da Pisa, genannt Fibonacci (13. Jahrhundert), zurĂŒckgeht. Die jeweils nĂ€chste Zahl in dieser Folge erhĂ€lt man als Summe der beiden vorangehenden. Das VerhĂ€ltnis zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen strebt gegen den Goldenen Schnitt – ein Umstand, der bereits Johannes Kepler bekannt war.

Geometrisches

Vergleich mit anderen TeilungsverhÀltnissen

Ein möglicher Grund fĂŒr die Beliebtheit des Goldenen Schnittes ist in seinem hohen Grad an IrrationalitĂ€t zu sehen. Das bedeutet, dass er sich von allen VerhĂ€ltnissen kleiner ganzer Zahlen, wie beispielsweise 2:3 oder 3:4, deutlich abhebt, was in bestimmten Ă€sthetischen ZusammenhĂ€ngen erwĂŒnscht sein kann. Sicher wurde und wird er oft auch unbewusst und ohne exakte Maßkontrolle intuitiv gewĂ€hlt, um rationale LĂ€ngenverhĂ€ltnisse zu meiden.

Die folgende Abbildung vergleicht verschiedene Rechtecke mit prominenten SeitenverhĂ€ltnissen in der Umgebung von Φ. Angegeben ist jeweils das VerhĂ€ltnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

Typische Einsatzgebiete (von links nach rechts):

1. 4 : 3 - Traditionelles Fernsehformat. In der Regel auch bei Computermonitoren (z. B. 1024 × 768 Pixel).
2. √2 : 1 - Das SeitenverhĂ€ltnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN-Maßen. Bei einer Halbierung durch eine Waagerechte entstehen wiederum Rechtecke mit dem selben SeitenverhĂ€ltnis.
3. 3 : 2 - SeitenverhĂ€ltnis beim Kleinbildfilm (36mm × 24mm).
4. Φ : 1 - SeitenverhĂ€ltnis im Goldenen Schnitt. Hier approximiert durch 144 × 89 Pixel mit einem theoretischem Fehler von nur 5·10^-5. Die beiden benachbarten Rechtecke weisen ebenfalls SeitenverhĂ€ltnisse von benachbarten Fibonacci-Zahlen auf und approximieren daher den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
5. 5 : 3 - Findet neben dem noch breiteren 1:1,85 als Kinoformat Verwendung.
6. 16 : 9 - Breitbildformat.

Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

In der Geometrie spielten in der Vergangenheit Konstruktionsverfahren eine wichtige Rolle, die nur mit Zirkel und Lineal auskommen. FĂŒr die Teilung einer Strecke im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes gibt es eine FĂŒlle derartiger Verfahren. Hier seien exemplarisch einige erwĂ€hnt..

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Das folgende Verfahren ist wegen seiner Einfachheit beliebt. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben LÀnge von AB mit dem Endpunkt C. Der Kreis um C mit dem Radius BC schneidet die Verbindung AC im Punkt D. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im VerhÀltnis des Goldenen Schnittes.

Die folgende Vorschrift geht auf Euklid zurĂŒck. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben LĂ€nge von AB mit dem Endpunkt C. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die VerlĂ€ngerung von AC im Punkt D. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes. Bei diesen beiden Beispielen spricht man von einer inneren Teilung der Ausgangsstrecke AB.

Im folgenden zwei Beispiele fĂŒr eine Ă€ußere Teilung, bei der der zu konstruierende Punkt außerhalb der Ausgangsstrecke liegt. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der LĂ€nge AS mit dem Endpunkt C. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die VerlĂ€ngerung von AS im Punkt B. S teilt AB im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes.

Das folgende Konstruktionsverfahren wurde erstaunlicherweise trotz seiner Einfachheit und Eleganz erst 1982 von dem amerikanischen Mathematiker George Odom entdeckt. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verlÀuft. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S. Die VerlÀngerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im VerhÀltnis des Goldenen Schnittes. Beginnt man mit der Strecke AS, so ist zunÀchst das Dreieck zu konstruieren, was in mehreren Schritten problemlos möglich ist.

Pentagramm

Das Pentagramm, eins der Ă€ltesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Es erscheint in einer FĂŒlle von unterschiedlichen Interpretationen. Bereits vor 4000 v. Chr. tauchte es in der Euphrat-Tigris-Region auf. Bei den PythagorĂ€ern stand es fĂŒr die Suche nach der universalen Wahrheit. Die Stadt Jerusalem fĂŒhrte es etwa 300 bis 150 v. Chr. als offizielles Siegel. In Goethess Faust steht es fĂŒr das Symbol gegen den Teufel. Auf der Spitze stehend ist es als Drudenfuß bekannt, der vor Hexen und bösen Geistern schĂŒtzen soll. Auf militĂ€rischen GerĂ€tschaften der frĂŒheren UdSSR, sowie der USA und China ist es als gefĂŒllter Stern zu sehen und auch auf den Flaggen vieler Staaten. Ferner ist es in der Esoterik ein oft verwendetes Symbol.

Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (lĂ€ngere Strecke) und orange (kĂŒrzere Strecke) markiert. Sie lassen sich ĂŒber das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das man in das innere FĂŒnfeck zeichnen könnte, und damit auch in alle weiteren. StĂŒnden die beiden Strecken in einem VerhĂ€ltnis ganzer Zahlen, mĂŒsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist.

FĂŒr den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen SymmetriegrĂŒnden gleich lang sind, auch CD=CC' gilt. Ursache ist, dass das Dreieck C'CD zwei gleiche Winkel besitzt, wie man durch Parallelverschiebung der Strecke CC' erkennen kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

Ersetzt man AC=AB+BC und beachtet die Gleichheit der auftretenden TeilstĂŒcke, so erhĂ€lt man genau die obige Definitionsgleichung fĂŒr den Goldenen Schnitt.

Goldene Spirale Ein Goldenes Rechteck lĂ€sst sich in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck teilen. Durch wiederholte Teilung erhĂ€lt man eine Figur, in die sich eine logarithmische Spirale einzeichnen lĂ€sst, die Goldene Spirale. Sie wird oft, wie in nebenstehender Abbildung, durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius verĂ€ndert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor Φ. Die schneckenförmigen KalkgehĂ€use einiger Tierarten haben eine Ă€hnliche Steigung, wie beispielsweise das des Nautilus. Bei den meisten dieser Tierarten ist die Steigung jedoch eher geringer.

]] Goldener Schnitt im Ikosaeder Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von drei gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den SeitenverhĂ€ltnissen des Goldenen Schnittes.

Historisches

Hippasos von Metapont (um 450 v. Chr.), der dem Geheimbund der PythagorĂ€er angehörte, entdeckte bei seinen Untersuchungen am FĂŒnfeck, dass das VerhĂ€ltnis von KantenlĂ€nge zu Diagonale nicht durch ganze Zahlen darstellbar war. Dieses Ergebnis stand im Widerspruch zu der Überzeugung der PythagorĂ€er, dass die Welt sich vollstĂ€ndig durch ganze Zahlen beschreiben lassen mĂŒsse. Ironischerweise fand sich nun die Widerlegung dieser Ansicht ausgerechnet im Pentagramm, dem Symbol der PythagorĂ€er. Hippasos entdeckte damit das PhĂ€nomen der irrationalen Zahlen anhand der InkommensurabilitĂ€t von Strecken, sowie zwei GrĂ¶ĂŸen, die im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes stehen. UnbestĂ€tigten Berichten zufolge verbreitete er seine Entdeckung entgegen den Regeln seines Geheimbundes in der Öffentlichkeit und wurde daher zur Strafe ertrĂ€nkt.

Die erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt von Euklid (325 - 270 v. Chr.), der darauf ĂŒber seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem FĂŒnfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung fĂŒr dieses TeilungsverhĂ€ltnis wurde spĂ€ter als "proportio habens medium et duo extrema" ĂŒbersetzt, was heute als "Teilung im inneren und Ă€ußeren VerhĂ€ltnis" bezeichnet wird.

von Leonardo da Vinci (1509)]]

SpĂ€ter beschĂ€ftigte sich der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 - 1514), der an der UniversitĂ€t von Perugia Mathematik lehrte, mit Euklids Arbeiten. Er nannte diese Streckenteilung Göttliche Teilung, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fĂŒnf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Buch "De Divina Proportione" ist jedoch ein rein mathematisches Werk, das keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Gleichzeitig verfasste er eine Abhandlung ĂŒber die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage fĂŒr Architektur darstellt. Leonardo da Vinci (1451-1519), der 7 Jahre lang SchĂŒler Paciolis in Mailand war, illustrierte dieses Buch mit einer Studie ĂŒber den vitruvischen Menschen. Das VerhĂ€ltnis von Quadratseite zu Kreisradius in diesem berĂŒhmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7% dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwĂ€hnt wird.

In Abhandlungen verschiedener Autoren im 19. Jahrhunderten insbesondere von dem Philosophen Adolf Zeising wurden diese beiden Schriften zu der These kombiniert, Pacioli hĂ€tte in der "De Divina Proportione" in Zusammenarbeit mit Leonardo da Vinci einen Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt hergestellt und damit seine Wiederentdeckung fĂŒr die Malerei der Renaissance begrĂŒndet. Zeising war von der Existenz eines Naturgesetzes der Ästhetik ĂŒberzeugt, dessen Basis der Goldene Schnitt sein mĂŒsse. Er suchte und fand den Goldenen Schnitt ĂŒberall. Seine Schriften verbreiteten sich rasch und begrĂŒndeten eine wahre Euphorie bezĂŒglich des Goldenen Schnitts. Andererseits zeigt eine Literaturanalyse, dass vor Zeising niemand in den Werken der Antike oder Renaissance den Goldenen Schnitt zu erkennen glaubte. Entsprechende Funde sind daher heute unter Kunsthistorikern eher umstritten.

Die Bezeichnung Goldener Schnitt wurde erstmals 1835, nur wenige Jahre zuvor, von Martin Ohm (1792-1872; Bruder von Georg Simon Ohm) in einem Lehrbuch der Mathematik verwendet .

Gustav Theodor Fechner, ein BegrĂŒnder der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchpersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine PrĂ€ferenz fĂŒr den Goldenen Schnitt fest . Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhĂ€ngt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die SeitenverhĂ€ltnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.

Anfang des 20. Jahrhunderts fanden die Schriften des RumĂ€nen Matila Costiescu Ghyka (1927) zum Goldenen Schnitt Beachtung, der den religiösen Aspekt von Pacioli mit dem Ă€sthetischen von Zeisig verband. Er interpretierte den Goldenen Schnitt als fundamentales Geheimnis des Universums und fĂŒhrte dazu vor allem Beispiele in der Natur an.

Ende des 20. Jahrhunderts suchte die Kunsthistorikerin Marguerite Neveux mit röntgenanalytischen Verfahren unter der Farbe von OriginalgemÀlden, die angeblich den Goldenen Schnitt enthalten, vergeblich nach entsprechenden Markierungen oder Konstruktionsspuren .

Architektur

FrĂŒhe Hinweise auf die vermutlich unbewusste Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Nach Angaben des griechischen Geschichtsschreibers Herodot wurde die Cheops-Pyramide so konstruiert, dass der FlĂ€cheninhalt jeder der vier SeitenflĂ€chen gleich dem Quadrat der Pyramidenhöhe ist. Daraus ergibt sich, dass die Höhe der SeitenflĂ€che zur HĂ€lfte der Basiskante im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes steht. Andererseits wurde nach jĂŒngeren Vermessungen die These aufgestellt, dass das VerhĂ€ltnis 2:π an anderer Stelle die tatsĂ€chlichen Maße noch besser widerspiegelt.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele fĂŒr die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie beispielsweise die Vorderfront des 447–432 v. Chr unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis. Da zu diesen Werken keine PlĂ€ne ĂŒberliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewĂ€hlt wurden.

Auch in spÀteren Epochen finden sich zahlreiche Beispiele goldener Proportionen, wie beispielsweise die Königshalle in Lorsch (770 n. Chr) und der Dom von Florenz.

Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein einheitliches Maßsystem basierend auf den menschlichen Maßen und dem Goldenen Schnitt. Er veröffentlichte es 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte beziehungsweise -theorie gezĂ€hlt wird. Bereits 1934 wurde ihm fĂŒr die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der UniversitĂ€t ZĂŒrich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.

Kunst

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders Ă€sthetischen Ergebnissen fĂŒhrt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Viele KĂŒnstler setzten ihn bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fĂŒndig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der FĂŒlle von Kandidaten fĂŒr den Goldenen Schnitt beispielsweise in einem reich strukturierten GemĂ€lde oft umstritten.

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie dem Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jhd. v. Chr.) als Beispiele fĂŒr die Verwendung des Goldenen Schnittes interpretiert. Auf letzteren bezieht sich auch die heute oft ĂŒbliche Bezeichnung Φ fĂŒr den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingefĂŒhrt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung τ bezieht sich dagegen auf das griechische Wort "tome" fĂŒr "Schnitt".

Man kann ihn auch in vielen GemĂ€lden der Renaissance finden, wie bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht DĂŒrer (zum Beispiel beim Selbstbildnis von 1500 und beim Kupferstich Melancolia I von 1514).

KĂŒnstler der Neuzeit, die den Goldenen Schnitt bewusst einsetzten, sind beispielsweise Mondrian, Paul Signac und Georges Seurat.

Auch in der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt, wie beispielsweise von dem französischen Fotograf Henri Cartier-Bresson

Im Buchdruck wurde frĂŒher gelegentlich die NutzflĂ€che einer Seite, der so genannte Satzspiegel, so positioniert, das das VerhĂ€ltnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie 2:3:5:8 verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt.

KĂŒnstler und Handwerker benutzten im 19. Jahrhundert zur Konstruktion beziehungsweise zur ÜberprĂŒfung des Goldenen Schnittes oft einen so genannten Goldenen Zirkel. Er bestand oft aus einem Zirkel, dessen beide Schenkel x-förmig nach oben zu einem zweiten Zirkel verlĂ€ngert waren, und dessen SchenkellĂ€ngen so gewĂ€hlt waren, dass das VerhĂ€ltnis der beiden eingestellten Abschnitte den Goldenen Schnitt bildete. Andere Instrumente hatten die Form eines Storchschnabels.

Musik

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich nĂ€herungsweise in Strukturkonzepten von MusikstĂŒcken gefunden. So hat BĂ©la BartĂłk ihn hĂ€ufig verwendet. Seine Sonate fĂŒr zwei Klaviere und Schlagzeug enthĂ€lt ihn in vielfĂ€ltiger Weise. Beispielsweise wĂ€hlte er fĂŒr die LĂ€nge des ersten und des zweiten der beiden SĂ€tze die LĂ€ngen von 2457 und 3975 Achtelnoten. Die bei ganzen Zahlen unvermeidliche Abweichung vom Goldenen Schnitt entspricht nur einem Bruchteil einer Achtelnote.

Da in der Musik der Wohlklang von Tönen auf ihrem rationalen FrequenzverhĂ€ltnis beruht, spielt der Goldene Schnitt in den Tonleitern allenfalls in der experimentellen Musik eine Rolle. Selbst unter den Tonintervallen, deren FrequenzverhĂ€ltnis aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen entspricht, ragt lediglich die Quinte mit 3:2 heraus, was sich beispielsweise im Quintenzirkel manifestiert. Die Bedeutung der großen Sexte mit 5:3 und der kleine Sexte mit 8:5 fĂŒr die Musik ĂŒbersteigt dagegen diejenige anderer Intervalle nicht unbedingt auffallend.

Dagegen wird der Goldene Schnitt gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er fĂŒr besonders klangschöne Instrumente bĂŒrgen. So wird auch behauptet, dass der berĂŒhmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher fĂŒr seine Violinen zu berechnen.

Biologie

Proportionen des menschlichen Körpers

Im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, der Goldene Schnitt sei ein göttliches Naturgesetz und in vielfacher Weise auch in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch ĂŒber die Proportionen des menschlichen Körpers an, dass der Nabel die KörpergrĂ¶ĂŸe im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnitts teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die VerhĂ€ltnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie beispielsweise bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefĂ€hr in diesem VerhĂ€ltnis zu stehen. Eine genaue ÜberprĂŒfung ergibt jedoch Streuungen des VerhĂ€ltnisses im 20-Prozent-Bereich. Oft enthĂ€lt auch die Definition, wie beispielsweise die LĂ€nge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion WillkĂŒr. Ferner fehlt dieser These bis heute eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen GrĂ¶ĂŸen sind.

Botanik

Das spektakulĂ€rste Beispiel fĂŒr die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von BlĂ€ttern (Phyllotaxis) und in BlĂŒtenstĂ€nden mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden BlĂ€ttern den Vollkreis von 360° im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der BlĂ€tter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die BlĂŒtenblĂ€tter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre BlĂ€tter auf ausreichenden Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jeder Blattwurzel einen Inhibitor produziert, einen speziellen Wachstumshemmer, der im Planzenstamm vor allem nach oben, in geringerem Umfang aber auch in seitlicher Richtung diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte KonzentrationsgefĂ€lle aus. Das nĂ€chste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum VorgĂ€nger ein. WĂŒrde dieser Winkel den Vollkreis im VerhĂ€ltnis einer rationalen Zahl m/n teilen, dann wĂŒrde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige n BlĂ€tter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem VerhĂ€ltnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl, die in diesem Sinne die irrationalste aller Zahlen ist, ist nun aber gerade der Goldene Schnitt (siehe unten). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, wird auch die These diskutiert, dass diese VorgĂ€nge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von NĂ€hrstoffen gesteuert werden.

Der Nutzen fĂŒr die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht optimal genutzt wird, eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci Ă€ußerte. Allerdings gibt es auch Pflanzen dieser Art, deren Organisation keine Maximierung der Lichtausbeute erfordert. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln auf. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, ... korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschieden Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. So bilden die Schuppen eines Fichtenzapfens 5 Spiralen in die eine Richtung und 8 in die andere. Bei einer Ananas mittlerer GrĂ¶ĂŸe sind 8 und 13 Spiralen zu sehen. Gelegentlich ist sogar noch ein dritter Spiraltyp zu erkennen. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang des Pflanzenstammes besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinander folgenden BlĂ€ttern gebildet, sondern von solchen im Abstand n, wobei n eine Fibonacci-Zahl ist. Solche BlĂ€tter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das n-fache des Goldenen Winkels Κ ist ungefĂ€hr ein Vielfaches von 360° wegen

,

wobei m die nĂ€chst kleinere Fibonacci-Zahl zu n ist. Da jedes der BlĂ€tter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind n Spiralen zu sehen. Ist n/m grĂ¶ĂŸer als Φ so ist das VerhĂ€ltnis der beiden nĂ€chsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall ĂŒberlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich hĂ€ufig auftreten.

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen in flachen BlĂŒtenstĂ€nden wie beispielsweise bei Sonnenblumen, GĂ€nseblĂŒmchen und Disteln. Pflanzenarchitektonisch entsprechen den einzelnen Samen BlĂ€tter, wobei jedes einzelne einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des BlĂŒtenstandes zugeordnet werden kann, so als hĂ€tte man einen Pflanzenstamm mit seinen BlĂ€ttern wie ein Teleskop zusammengeschoben. Wachtumstechnisch aufeinander folgende Samen liegen daher rĂ€umlich weit auseinander, wĂ€hrend direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im Ă€ußeren Bereich von Sonnenblumen zĂ€hlt man 34 und 55 Spiralen, bei grĂ¶ĂŸeren Exemplaren sogar 55 und 89. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht ĂŒberschritten wird, betrĂ€gt weniger als 0,01 Prozent.

Der Goldene Schnitt lĂ€sst sich natĂŒrlich auch ĂŒber radiĂ€rsymmetrische fĂŒnfzĂ€hlige BlĂŒten konstruieren wie beispielsweise bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Heckenrose. Der Abstand der Spitzen von BlĂŒtenblĂ€ttern nĂ€chster Nachbarn zu dem der ĂŒbernĂ€chsten steht wie beim regelmĂ€ĂŸigen FĂŒnfeck ĂŒblich im diesem VerhĂ€ltnis. Das betrifft natĂŒrlich auch Seesterne und andere Tiere mit fĂŒnfzĂ€hliger Symmetrie.

DarĂŒber hinaus wird der Goldene Schnitt auch im VerhĂ€ltnis der LĂ€ngen aufeinander folgender StĂ€ngelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie beispielsweise bei der Pappel. Auch im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefĂ€hr im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Astronomie

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in VerhĂ€ltnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie beispielsweise Jupiter und Saturn mit 2:5 oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit 1:2:4. Solche VerhĂ€ltnisse stabilisieren diese Bahnen langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass auch hinreichend irrationale VerhĂ€ltnisse, wie sie beispielsweise im Fall 1:Φ vorliegen wĂŒrden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben fĂŒr die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und J. Moser stehen.

Physik

Der Goldene Schnitt tritt auch bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von D. Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden. Dabei handelt es sich um Strukturen mit fĂŒnfzĂ€hliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen ĂŒblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als man bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fĂŒnfzĂ€hliger Symmetrie fand. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschieden rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen man den Raum zwar lĂŒckenlos, jedoch ohne globale PeriodizitĂ€t fĂŒllen kann. Beide Rhomboeder setzten sich aus den selben rautenförmigen SeitenflĂ€chen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lĂ€sst sind nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im VerhĂ€ltnis des Goldenen Schnittes stehen.

Mathematische Eigenschaften

Herleitung des Zahlenwertes

In der mathematischen Literatur bezeichnet man den Goldenen Schnitt mit einer VerhÀltniszahl oder . Aus der oben angegeben Definition folgt

und daraus die quadratische Gleichung

mit einer Lösung

Die zweite Lösung der quadratischen Gleichung

fĂŒhrt auf die VerhĂ€ltniszahl ρ=1/Φ=Φ-1. Etliche mathematische ZusammenhĂ€nge lassen sich unter Verwendung von sowohl Φ als auch ρ (oder -ρ) in besonders symmetrischer Weise schreiben.

Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen

Der Zusammenhang zwischen dem Goldenen Schnitt und der Fibonacci-Folge a_n erschließt sich unmittelbar ĂŒber deren rekursives Bildungsgesetz a_n+1=a_n+a_n-1. Danach gilt fĂŒr das VerhĂ€ltnis aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen

.

Sofern dieses VerhĂ€ltnis gegen einen Grenzwert φ konvergiert, muss daher fĂŒr ihn gelten

.

Diese Beziehung gilt aber gerade fĂŒr den Goldenen Schnitt, wie der Vergleich mit der ersten Gleichung des vorangehenden Abschnitts zeigt.

Die Glieder der Fibonacci-Folge lassen sich auch ĂŒber die Funktionsvorschrift

berechnen (mit ρ=Φ-1=1/Φ). Die Ganzzahligkeit der Folgenglieder ist dadurch gewĂ€hrleistet, dass sich ungerade Potenzen von √5 stets wegheben.

Der Goldene Schnitt als irrationalste und nobelste aller Zahlen

Der Goldene Schnitt ist eine irrationale Zahl, das heißt er lĂ€sst sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Von großer Bedeutung fĂŒr seine Rolle in der Kunst und in der Natur ist seine besondere Eigenschaft, in gewissen Sinne die irrationalste aller Zahlen zu sein. Diese Eigenschaft Ă€ußert sich darin, dass er sich besonders schwer durch rationale Zahlen approximieren lĂ€sst. Das ist beispielsweise bei der ebenfalls irrationalen Kreiszahl π nicht der Fall. Sie lĂ€sst sich durch den Bruch 22/7 mit einer Abweichung von nur 0,04% approximieren. Einen derartig geringen Fehler wĂŒrde man im allgemeinen erst bei einem sehr viel grĂ¶ĂŸeren Nenner erwarten.

Der Goldene Schnitt lĂ€sst sich direkt aus der Forderung nach maximaler IrrationalitĂ€t konstruieren. Um das zu verstehen, betrachte man das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl π. Wir zerlegen diese Zahl zunĂ€chst in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest, der kleiner als 1 ist: π=3+Rest. Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die grĂ¶ĂŸer als 1 ist. Sie lĂ€sst sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner 1: π=3+1/(7+Rest). VerfĂ€hrt man mit diesem Rest und allen folgenden ebenso, dann erhĂ€lt man die so genannte unendliche Kettenbruchdarstellung der Zahl π

Man kann nun zeigen, dass man die BrĂŒche, mit denen man π optimal approximieren kann, genau dann erhĂ€lt, wenn man diesen Kettenbruch an irgendeiner Stelle abbricht. Je nach Abbruchstelle erhĂ€lt auf diese Weise die Zahlen 3, 22/7, 333/106, 355/113, ..., die rasch gegen π streben. FĂŒr jeden einzelnen dieser BrĂŒche gilt, dass es keinen Bruch mit einem kleineren Nenner gibt, der π besser approximiert.

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je grĂ¶ĂŸer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist daher auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die grĂ¶ĂŸte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die 15. Das ist der Grund, warum 22/7 eine derart gute Approximation fĂŒr π darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulĂ€ssige Zahl dort ist aber die 1. Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthĂ€lt, hĂ€lt daher von allen rationalen Zahlen maximal Abstand, und ist in diesem Sinn die irrationalste aller Zahlen. FĂŒr den Goldenen Schnitt gilt nun aber Φ=1+1/Φ (siehe oben), und daraus ergibt sich durch wiederholte Anwendung

Das heißt, der Goldene Schnitt Φ ist die irrationalste aller Zahlen. Bricht man diese Kettenbruchzerlegung an irgendeiner Stelle ab, so erhĂ€lt man stets einen Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen.

Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgend einer Stelle nur noch Einsen enthÀlt, bezeichnet man als noble Zahlen. Der Goldene Schnitt ist damit auch die nobelste Zahl.

Weitere mathematische Eigenschaften

• Aus Φ² = 1 + Φ lĂ€sst sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:

• Das Quadrat Φ² = Φ + 1 und jede höhere ganzzahlige Potenz von Φ lassen sich als Summe aus einem Vielfachen von Φ und einem Vielfachen von 1 darstellen. Auf dieser Eigenschaft beruht die fundamentale Bedeutung des goldenen Schnitts fĂŒr quasiperiodische Gitter (siehe Quasikristall).

• In der Trigonometrie gilt unter anderem:

sin(π/10) = (Φ-1)/2 (π/10 ist die HĂ€lfte des Winkels in der Spitze des Pentagramms.)

sin(3π/10) = Φ/2 (3π/10 ist die HĂ€lfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms.)

Der goldenene Schnitt Φ spielt fĂŒr das FĂŒnfeck eine Ă€hnliche Rolle wie die Kreiszahl π fĂŒr den Kreis.

• Der goldene Schnitt lĂ€sst sich auch mit Hilfe der Eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrĂŒcken:

.

• Kurioserweise kann man (1+√5)/2 allein mit der Ziffer 5 beschreiben, sofern man, wie bei Taschenrechnern ĂŒblich, die Nullen vor dem Komma weglĂ€sst:

Literatur

• Martin Ohm: Die reine Elementar-Mathematik, weniger abstrakt, sondern mehr anschaulich, Band 2, 1835.
• Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, 1854.
• G. Fechner: Zur experimentalen Ästhetik, 1871.
• G. Fechner, Vorschule der Ästhetik, 1876.
• Marguerite Neveux, H. E Huntley: Le nombre d’or – Radiographie d’un mythe, 1995, ISBN 2-02-025916-8
• Hans Walser: Der Goldene Schnitt, Teubner, ISBN 3-8154-2511-5 oder vdf, ISBN 3-7281-2336-6.
• P. H. Richter, H.-J. Scholz: Der Goldene Schnitt in der Natur, in: Ordnung aus dem Chaos, Hrsg. B.-O. KĂŒppers, Serie Piper, S. 175-214, 1987, ISBN 3-492-10743-5
• S. King et al., On the mystery of the golden angle in phyllotaxis, in: Plant Cell Environ, 27, S. 685-96, Juni 2004

Weblinks

• http://www.goldener-schnitt.de.vu (stĂ€ndig aktualisierte Bibliographie)
• http://www.khg.bamberg.de/comenius/gold/inhgs.htm - Projekt am Kaiser-Heinrich-Gymnasium Bamberg
• http://www.nexusjournal.com/Frings.html - Marcus Frings (TU Darmstadt): The Golden Section in Architectural Theory (kritische Analyse)
• http://www-ojt.fh-reutlingen.de/sectio-aurea/inhalt137,5grad.html - insbes. Fechners Ergebnisse S. 66-67
• http://www.math.smith.edu/~phyllo Der Goldene Schnitt in der Biologie (englisch).
• http://www.goldennumber.net - Beispiel fĂŒr eine eher unkritische Maximal-Sammlung zum Vorkommen des Goldenen Schnittes (englisch)
• http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
• http://www.goldenmuseum.com

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