Integralrechnung Bedeutung, Erklärung und Definition.
Die Integralrechnung ist neben der Differentialrechnung der wichtigste Zweig der mathematischen Disziplin Analysis. Sie beschĂ€ftigt sich anschaulich gesprochen mit der Berechnung von FlĂ€chen unter einem Funktionsgraphen.Mit der Operation Integration ordnet man einer Funktion fĂŒr einen gegebenen Integrationsbereich ihr Integral zu. Das Integral wird elementar als die FlĂ€che unter dem Graphen der Funktion gedeutet. Je nachdem, ob der Integrationsbereich endlich oder unendlich ist, heiĂt das Integral bestimmt oder uneigentlich.
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, auch Fundamentalsatz der Analysis genannt, besagt, dass Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können. Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion wird auch deren unbestimmtes Integral genannt.
Integration ist die inverse Operation zur Differentiation, sie bestimmt die Stammfunktion als die Inverse der Ableitung. Im Gegensatz zur Differentiation existiert fĂŒr die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle FĂ€lle abdeckender Algorithmus. Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen (Integration durch Substitution, Partielle Integration) oder/und Nachschlagen in einer Tabelle. Oft erfolgt die Integration auch nur nĂ€herungsweise als so genannte numerische Quadratur. In der Technik benĂŒtzt man zur Integration bzw. FlĂ€chenbestimmung so genannte Planimeter, bei welchen die Summierung der FlĂ€chenelemente kontinuierlich erfolgt. Der Zahlenwert der so bestimmten FlĂ€che kann an einem ZĂ€hlwerk abgelesen werden, welches zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit mit einem Nonius versehen ist.
Bestimmtes Integral
Ein Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion. Die FlÀche wird durch die Summe der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen "Treppenstufen" angenÀhert. Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Wert jedes Teilintervalls als Höhe der Stufe wÀhlen. Dies sind die nach dem deutschen Mathematiker Bernhard Riemann bezeichneten "Riemann-Summen". WÀhlt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Zwischenwert, so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.
Die Differenz zwischen Ober- und Untersumme lĂ€Ăt sich durch das Produkt aus der -- ebenfalls von Riemann eingefĂŒhrten -- totalen Variation und der maximalen IntervalllĂ€nge in der Zerlegung abschĂ€tzen. Somit konvergieren die Riemannschen Zwischensummen gegen einen bestimmtes Integral genannten Wert, wenn die Breite der Rechtecke gegen Null strebt und die totale Variation endlich ist.
Dieser Grenzwert kann nicht fĂŒr alle Funktionen oder Integralgrenzen explizit berechnet werden.
Funktionen beschrĂ€nkter totaler Variation sind alle stetigen und stĂŒckweise stetigen, sowie alle monotonen Funktionen. Umgekehrt kann man zeigen, dass es fĂŒr solche Funktionen nur abzĂ€hlbar viele Unstetigkeitsstellen geben kann, und dass deren Anzahl fĂŒr jede Sprunghöhe endlich ist.
Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurĂŒck. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S fĂŒr lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation f(x) dx deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe f(x) und der infinitesimalen Breite dx zusammensetzt. Dieses dx wird Differential genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation df/dx vor und wird in der Theorie der Differentialformen verallgemeinert.
Die GenialitĂ€t dieser Notation zeigt sich zum Beispiel darin, dass das multiplikativ zu lesende dx stets garantiert, dass Integrale in der Physik dimensionsrichtig angesetzt werden. Zum Beispiel lautet die Definition der Energie E als Kraft F mal Weg s fĂŒr wegabhĂ€ngige KrĂ€fte F(s):
Ăberdies ist dx eine mnemotechnische Hilfe bei der Integration durch Substitution.
In der Elementarmathematik werden Integralzeichen und Differential meistens wie eine Klammer um die Integrandfunktion geschrieben. In anspruchsvollerem Kontext hat es Vorteile, das Differential vor den Integranden zu schreiben: mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist. Jedenfalls gilt:
Den Integralbegriff kann man recht einfach fĂŒr den Fall verallgemeinern, dass die TrĂ€germenge, auf der die Integrandfunktion f operiert, nicht die Zahlengerade R, sondern der n-dimensionale Euklidische Raum Rn ist. Mehrdimensionale Integrale ĂŒber ein Volumen '\'V'' darf man nach dem Satz von Fubini berechnen, indem man sie in beliebiger Reihenfolge in Integrale ĂŒber die einzelnen Koordinaten aufspaltet, die nacheinander abzuarbeiten sind:
Notation
Wenn man weiĂ, dass s in m und F in N gemessen wird, kann man sofort ablesen, dass E die Einheit Nm hat.Verallgemeinerung: mehrdimensionale Integrale
Die Integrationsgrenzen der eindimensionalen Integrale in x, y und z muss man aus der Begrenzung des Volumens V ermitteln.
In der Funktionalanalysis und theoretischen Physik lĂ€sst man mehrdimensionale Integrale am liebsten ĂŒber den gesamten, unendlichen n-dimensionalen Raum laufen; die Konvergenz der Integrale erreicht man, indem man in den Integranden eine Indikatorfunktion aufnimmt, die zum Beispiel auĂerhalb eines vorgegebenen Volumens V ĂŒberall 0 ist.
In der Funktionentheorie, also der Erweiterung der Analysis auf Funktionen einer komplexen VerĂ€nderlichen, genĂŒgt es nicht mehr, untere und obere Integrationsgrenzen anzugeben: denn zwei Punkte der komplexen Ebene können, anders als zwei Punkte auf der Zahlengeraden, durch beliebige Pfade miteinander verbunden werden. Deshalb ist das bestimmte Integral in der Funktionentheorie grundsĂ€tzlich ein Linienintegral. FĂŒr geschlossene Pfade gilt der Residuensatz, das wahrscheinlich erstaunlichste Resultat von Cauchy: das Integral entlang einem geschlossenen Pfad hĂ€ngt allein von den umschlossenen SingularitĂ€ten ab.
Das oben beschriebene Verfahren wird als Riemann-Integration bezeichnet.
Das Riemann-Integral kann nicht
bei Integrandfunktionen unendlicher Schwankung, z.B. Funktionen mit oszillierenden SingularitÀten wie oder der Indexfunktion der rationalen Zahlen im Intervall [0,1]
angewendet werden.
Deshalb wurden erweiterte Integralbegriffe von Henri Leon Lebesgue (Lebesgue-Integral), Thomas Jean Stieltjes und Alfred Haar eingefĂŒhrt, die fĂŒr stetige Integranden das Riemann-Integral
reproduzieren.
Ein Sonderfall des bestimmten Integrals ist das uneigentliche Integral, bei dem die FlÀche nicht an beiden Seiten begrenzt ist. Gesucht ist also:
FĂŒr manche Funktionen (wie z.B. die erwĂ€hnte GauĂkurve) ist auch das beidseitig uneigentliche Integral definiert:
Es stellt sich heraus, dass die Integralrechnung sehr eng mit der Differentialrechnung zusammenhÀngt.
Eine Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) ist jede Funktion, deren Ableitung f(x) ergibt. Da beim Differenzieren additive Konstanten wegfallen, gilt: Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so ist es auch F(x) + C mit beliebigem C aus den reellen Zahlen. AuĂer F(x) + C gibt es keine weiteren Stammfunktionen zu f(x), d.h. zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine additive Konstante.
Das unbestimmte Integral einer Funktion f(x) ist nun die Menge aller Stammfunktionen von f(x):
Jede Funktion A(x), die den FlÀcheninhalt unter der Kurve von einer festen Untergrenze a bis zur variablen Obergrenze x angibt, also
Daraus ergibt sich, dass man jedes bestimmte Integral als eine Differenz zweier Stammfunktionen der zu integrierenden Funktion berechnen kann, da die additiven Konstanten bei der Subtraktion wegfallen (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung):
Das Integral liefert die FlĂ€che unter der Funktionskurve. Die Ableitung des Integrals nach der oberen Grenze sagt also, wie stark sich die FlĂ€che Ă€ndert, wenn die rechte Integrationsgrenze verschoben wird, relativ zur GröĂe der Verschiebung dieser Grenze.
Wenn man nun aber die obere Grenze um einen sehr kleinen Betrag verschiebt, dann Ă€ndert sich die FlĂ€che um ein kleines Rechteck, dessen Breite die Verschiebung der Grenze, und dessen Höhe der Funktionswert an dieser Stelle ist. Dessen FlĂ€cheninhalt ist natĂŒrlich das Produkt der beiden LĂ€ngen, und Division durch die Verschiebung (= die Breite des Rechtecks) ergibt dann gerade wieder den Funktionswert. Da also die Ableitung der Integralfunktion wieder die integrierte Funktion ergibt, ist die Integralfunktion per Definitionem eine Stammfunktion derselben.
In der formalen Sprache der Mathematik ist das Integral ein lineares Funktional ĂŒber dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen.
Die LinearitÀt besagt, dass das Integral der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) genau der Summe der Integrale der Funktionen ist:
Weitere Eigenschaften des Integrals:
siehe dazu den Artikel: Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen
Im Gegensatz zur Berechnung der Ableitungsfunktion ist die Berechnung der Stammfunktion bei vielen Funktionen sehr schwierig oder nicht möglich.
Oft schlÀgt man Integrale in Tabellenwerken nach.
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel der Differentialrechnung.
Beispiel:
Zur effektiven Nutzung der partiellen Integration gibt es verschiedene Standardtricks.
Sei und G eine Stammfunktion von g, so ist eine Stammfunktion von f, denn:
Bei gewissen Integralen wie
Bei gebrochenrationalen Funktionen fĂŒhrt hĂ€ufig eine Polynomdivision oder eine Partialbruchzerlegung zu einer Umformung der Funktion, die es erlaubt eine der Integrationsregeln anzuwenden.
Oft ist es schwierig oder nicht möglich, eine Stammfunktion anzugeben. Allerdings reicht es in vielen FĂ€llen auch aus, die FlĂ€che nĂ€herungsweise zu berechnen. Verfahren zur numerischen Quadratur bauen auf einer Approximation der Funktion durch einfacher integrierbare Funktionen, zum Beispiel Polynome. Die Trapezregel oder auch die Simpsonsche Formel sind Beispiele dafĂŒr.
ZusÀtzlich zu Berechnung von FlÀchen hat die Integralrechung unter anderem folgende Anwendungsgebiete:
Berechnung
Nun soll aber die Wegstrecke l berechnet werden, die der fallende Körper innerhalb einer bestimmten Zeit T zurĂŒcklegt. Das Problem hierbei ist, dass die Geschwindigkeit v des Körpers mit der Zeit zunimmt. Um das Problem zu lösen, nimmt man an, dass fĂŒr eine kurze Zeitspanne die Geschwindigkeit v, die sich aus der Zeit \ ergibt, konstant bleibt.
Die Zunahme der Wegstrecke innerhalb des kurzen Zeitraums betrÀgt daher
Wenn man nun die Zeitdifferenz gegen Null streben lÀsst, erhÀlt man
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Verallgemeinerung: Integration bei nichtendlicher totaler Variation
Uneigentliches Integral
oder
Obwohl die eingeschlossene FlĂ€che durch keine endliche Linie begrenzt ist, kann der FlĂ€cheninhalt bei geeigneten Funktionen durchaus endlich sein. Beispiele hierfĂŒr sind die GauĂsche Glockenkurve und die Funktion 1/xÂČ.
Andere uneigentliche Integrale entstehen, wenn die Funktion im Integrationsbereich divergiert.
Berechnung von uneigentlichen Integralen
Uneigentliche Integrale kann man folgendermaĂen berechnen:
Also:
Unbestimmtes Integral
Zusammenhang - Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
entspricht einer bestimmten Stammfunktion von f(x).
Anschaulich kann man das so verstehen:Eigenschaften des Integrals
und dass das Integral des Vielfachen einer Funktion (Multiplikation mit einer Konstanten) das entsprechende Vielfache des Integrals ist:
Eine wichtige Eigenschaft des bestimmten Integrals besteht darin, dass sich beim Vertauschen der Integrationsgrenzen das Vorzeichen Àndert:
Die Umformung
die man als ein geschlossenes Pfadintegral auffassen kann,
zeigt, dass es sich hierbei um einen Spezialfall des Integralsatzes von Cauchy (Cauchyscher Integralsatz) handelt: Sei f(z) eine stetig differenzierbare komplexe Funktion in einem einfach zusammenhĂ€ngenden offenen Gebiet der Ebene, dann ist fĂŒr jede stĂŒckweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve das Integral ĂŒber f(z) entlang dieser Kurve gleich 0.Berechnung von Stammfunktionen
Partielle Integration
Folglich gilt:
oder das Selbe, wie man es in vielen MathematikbĂŒchern finden kann:
Diese Regel ist insbesondere dann von Vorteil, wenn durch Ableiten von f(x) eine einfachere Funktion entsteht.
Setzt man
so ist
und man erhÀlt
Methoden der partiellen Integration
Beispiel:
Setzt man
so ergibt sich
und man erhÀlt
Addiert man auf beiden Seiten der Gleichung das Ausgangsintegral, ergibt sich:
Dividiert man beide Seiten durch 2, so erhĂ€lt man schlieĂlich:
Beispiel:
Setzt man jedesmal
Beispiel:
Setzt man
so erhÀlt man
Integration durch Substitution
Das Erraten geeigneter Substitutionen ist vor allem Erfahrungssache.
kann man Winkelfunktionen und den trigonometrischen Pythagoras nutzen.
Es ist darauf zu achten, dass die Grenzen des Integrals nun nicht mehr fĂŒr dx, sondern fĂŒr dt gelten ().Vereinfachung durch Partialbruchzerlegung
Numerische Quadratur
Anwendungen der Integralrechnung
Beispiel fĂŒr den Integralbegriff in der Physik
Ein physikalisches PhÀnomen, an dem der Integralbegriff erklÀrt werden kann, ist
der freie Fall eines Körpers im Schwerefeld der Erde. Bekanntlich betrÀgt die Beschleunigung g des freien Falls in Mitteleuropa ca. 9,81 . Die Geschwindigkeit v eines Körpers zur Zeit t lÀsst sich daher durch die Formel
ausdrĂŒcken.
Die gesamte Wegstecke lÀsst sich daher als
ausdrĂŒcken.
Umgekehrt lÀsst sich aus der Bewegungsgleichung
durch Differenzieren die Gleichung
fĂŒr die Geschwindigkeit und durch nochmaliges Diffenzieren
fĂŒr die Beschleunigung herleiten.Siehe auch
Weblinks