Mannigfaltigkeit Bedeutung, Erklärung und Definition.

Eine Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal einem gewöhnlichen Euklidischen Raum Rⁿ gleicht.

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

Übersicht

Ein gern gewĂ€hltes Beispiel fĂŒr eine Mannigfaltigkeit ist eine Kugel (= KugeloberflĂ€che), anschaulich etwa die ErdoberflĂ€che:

Jede Region der Erde kann man mit einer Karte auf eine Ebene abbilden. NĂ€hert man sich dem Rand der Karte, sollte man zu einer anderen Karte wechseln, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann man eine Mannigfaltigkeit durch einen vollstĂ€ndigen Satz von Karten vollstĂ€ndig beschreiben; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten ĂŒberlappen. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Wenn die Kartenwechsel hinreichend glatt sind, hat man eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Aus der Analysis bekannte Begriffe wie die Ableitung kann man auf natĂŒrliche Art auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten ĂŒbertragen. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit (nach Bernhard Riemann) besitzt mit der Riemannschen Metrik eine zusĂ€tzlichen Struktur, die es erlaubt, Winkel und Entfernungen zu bestimmen.

Warnung: Eine Kugel ist ein Beispiel fĂŒr eine Mannigfaltigkeit, die in einen Euklidischen Raum höherer Dimension eingebettet ist. Eine solche Einbettung existiert nicht fĂŒr jede Mannigfaltigkeit (vgl. Einbettungssatz von Whitney und Einbettungssatz von Nash). Die mathematische Beschreibung von Mannigfaltigkeiten nimmt daher keinen Bezug auf einen Einbettungsraum.

In der Physik finden differenzierbare Mannigfaltigkeiten Verwendung als PhasenrÀume in der klassischen Mechanik und als vierdimensionale Pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten zur Beschreibung der Raum-Zeit in der Allgemeinen RelativitÀtstheorie und Kosmologie.

RĂ€nder, Orientierung

Eine Kugel (=KugeloberflĂ€che) ist eine Mannigfaltigkeit ohne Rand. Das Innere einer Kugel dagegen ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand; ihr Rand ist gerade die KugeloberflĂ€che. Wir verzichten hier auf eine technische Definition des Begriffs Rand (boundary) und weisen daraufhin, dass die im folgenden gegebenen Definition des Begriffs Mannigfaltigkeit nur Mannigfaltigkeiten ohne RĂ€nder einschließt.

Mannigfaltigkeiten können orientierbar sein. Das bekannteste Beispiel einer nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeit ist das Möbiusband. Auch solche Mannigfaltigkeiten werden wir im weiteren nicht betrachten.

Topologische Mannigfaltigkeiten

Eine topologische -Mannigfaltigkeit ist ein parakompakter Hausdorff-Raum, in dem jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge von ist.

Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Euklidischen Raum: sie sind lokal wegzusammenhÀngend, lokal kompakt und lokal metrisierbar.

Es ist nicht möglich alle Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren. Die zusammenhĂ€ngenden 1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (ohne Rand) sind die reelle Zahlengerade und der Kreis . Die Klassifikation der 2-Mannigfaltigkeiten ist ebenfalls bekannt, aber schon fĂŒr die 3-Mannigfaltigkeiten ist das Problem ungelöst (fĂŒr den Beweis der PoincarĂ©-Vermutung sind 1.000.000 US-$ ausgelobt worden). Die 4-dimensionalen FĂ€lle können nicht klassifiziert werden (jede endlich-erzeugte Gruppe ist als Fundamentalgruppe eines solchen Raumes realisierbar).

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus. Es sei eine solche topologische -Mannigfaltigkeit ohne Rand. Eine offene Teilmenge von , auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge von definiert ist, nennt man eine Karte. Eine Sammlung von Karten, die ĂŒberdecken, nennt man einen Atlas von . Sich ĂŒberlappende Karten induzieren einen Homöomorphismus (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel) zwischen offenen Teilmengen von . Falls fĂŒr einen Atlas alle solche Abbildungen -mal differenzierbar sind, dann nennt man einen -Atlas. Zwei -Atlanten (der selben Mannigfaltigkeit) nennt man genau dann miteinander vertrĂ€glich, wenn ihre Vereinigung wieder einen -Atlas bildet. Diese VertrĂ€glichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Eine -Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einem -Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von -Atlanten). Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ . Sind alle Kartenwechsel sogar analytisch, dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch -Mannigfaltigkeit.

Auf einer -Mannigfaltigkeit nennt man eine Funktion genau dann -mal differenzierbar (), wenn sie auf jeder Karte -mal differenzierbar ist.

Zu jeder (parakompakten) -Mannigfaltigkeit () existiert ein Atlas der beliebig oft differenzierbar oder sogar analytisch ist. In der Tat ist diese Struktur sogar eindeutig, d.h. es ist keine EinschrÀnkung der Allgemeinheit anzunehmen, dass jede Mannigfaltigkeit analytisch ist (wenn man von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten redet).

Diese Aussage ist aber fĂŒr topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension oder höher nicht mehr unbedingt richtig: So gibt es sowohl -Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen, als auch -Mannigfaltigkeiten (oder auch -M., s.o.), die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten unterschiedlich, aber als topologische Mannigfaltigkeiten gleich sind. Das bekannteste Beispiel fĂŒr den zweiten Fall sind die so genannten exotischen -SphĂ€ren, die alle homöomorph zu (aber untereinander nicht diffeomorph) sind. Da die topologische und die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension ĂŒbereinstimmen sind solche Resultate leider nur schwer zu veranschaulichen.

TangentialbĂŒndel

An jedem Punkt einer differenzierbaren (aber nicht einer topologischen) Mannigfaltigkeit findet man einen Tangentialraum. In einer Karte heftet man an diesen Punkt einfach einen an und ĂŒberlegt sich dann, dass das Differential eines Koordinatenwechsels an jedem Punkt einen linearen Isomorphismus definiert, der die Transformation des Tangentialraums in die andere Karte leistet. Abstrakt definiert man den Tangentialraum an entweder als den Raum der Derivationen an diesem Punkt oder den Raum von Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven (wobei die Äquivalenzrelation angibt, wann die Geschwindigkeitvektoren zweier Kurven an gleich sein sollen).

Die Vereinigung aller TangentialrĂ€ume einer Mannigfaltigkeit bildet ein VektorbĂŒndel, das TangentialbĂŒndel genannt wird.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Auf einer "nackten" differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist es nicht möglich AbstĂ€nde, Winkel oder Volumen zu bestimmen. Die ĂŒblichste Art alle diese GrĂ¶ĂŸen festzulegen, ist die Angabe eines Skalarproduktes an jedem Punkt des Raumes (oder Ă€quivalent einer orthonormalen Basis von Tangentialvektoren). Eine solche Mannigfaltigkeit nennt man dann Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Lie-Gruppen

Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine Mannigfaltigkeit als auch eine Gruppe. Man fordert, dass beide Strukturen miteinander vertrÀglich sind. Diese Objekte beschreiben typische Symmetrien von geometrischen Strukturen und physikalischen Systemen.

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