Numerische Quadratur Bedeutung, Erklärung und Definition.

Oft kann man das Integral nicht geschlossen lÜsen, d.h. man kann keine Stammfunktion zu f(x) angeben. Deshalb versucht man, Näherungswerte zu ermitteln.

Dazu unterteilt man die gesuchte Fläche in senkrechte Streifen und nähert jede dieser so erhaltenen Teilflächen durch einfache geometrische Figuren (z.B. Trapez) oder einfache Funktionen (z.B. Polynome) an.

FĂźr die Flächenberechnung dieser einfachen Figuren benĂśtigt man den Wert der Funktion f(x) an den so genannten StĂźtzstellen x₀, ... x_m. Die Summe Ăźber diese Teilflächen ergibt eine Näherung des Integrals. Je schmaler man die einzelnen Teilflächen wählt umso genauer wird die Näherung. Von Interesse ist dann noch die Frage, wie groß der Fehler ist, der sich durch die Näherung ergibt. Dieser Fehler wird durch das Restglied beschrieben.

Allgemeine Quadraturformel

Mit Hilfe von Interpolationspolynomen und deren Lagrange-Darstellung kann man die folgende allgemeine Quadraturformel und das zugehĂśrige Restglied herleiten.

Allgemeine Quadraturformel fßr eine Teilfläche

Summierte Quadraturformeln

Um das Integral noch besser annähern zu kÜnnen unterteilt man das Intervall [a,b] in nebeneinanderliegende kleinere Teilintervalle. In jedem Teilintervall wendet man die gleiche Näherung fßr die einzelnen Flächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen.

Unterteilen wir also das Intervall [a,b] in N nebeneinanderliegende Teilntervalle

[a₁,b₁],[a₂,b₂], ... [a_N,b_N]     mit a₁=a;    a_k+1=b_k  k=1,...,N-1;   b_N = b

Die Teilintervalle mßssen zunächst nicht die gleiche Länge haben.

Dann gilt fßr jede Teilfläche

Spezielle Quadraturformeln

Sehnentrapezformel

Man ersetzt die Kurve f(x) durch die Verbindungsgerade zwischen den Punkten (a,f(a)) und (b,f(b)) - also durch die Sehne - und erhält somit ein Trapez.

Mit

      m = 1
      x0 = a
      x1 = b

      z0 = 0
      z1 = 1
      β0 = 1
      β1 = 0,5
      β2 = -(1/6)
      

Tangententrapezformel

Man legt an die Kurve f(x) im Punkt c in der Mitte des Intervalls [a,b] die Tangente und erhält so wieder ein Trapez.

Mit

      m = 1
      x0 = c
      x1 = c

      z0 = 0,5
      z1 = 0,5
      β0 = 1
      β1 = 0
      β2 = 1/12
      

Simpsonsche Formel oder Keplersche Faßregel

Interpoliert man die Funktion f(x) mittels eines quadratischen Polynoms in den Punten a,b,c (c liegt in der Mitte von [a,b]), dann erhält man die Simpsonsche Formel.

Mit

      m = 3
      x0 = a
      x1 = b
      x2 = c
      x3 = c

      z0 = 0
      z1 = 1
      z2 = 0,5
      z3 = 0,5
      β0 = 1
      β1 = 1/2
      β2 = -(1/6)
      β3 = 0
      β4 = -(1/120)

      m = 3
      x0 = a
      x1 = b
      x2 = a
      x3 = b

      z0 = 0
      z1 = 1
      z2 = 0
      z3 = 1
      β0 = 1
      β1 = 1/2
      β2 = -(1/6)
      β3 = -(1/12)
      β4 = -(1/30)

Formel von Euler-MacLaurin

Newton-Cotes-Formeln

Romberg-Integration

Gaußsche Quadraturformeln

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