Reihe (Mathematik) Bedeutung, Erklärung und Definition.

In der Mathematik ist eine Reihe eine Zahlenfolge, deren Glieder als Summen von Gliedern einer anderen Folge gegeben sind.

Table of contents

1 Vokabular 2 Beispiele 3 Konvergenzkriterien 4 Beispiele 5 Potenzreihen 6 Fourierreihen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 Links:

Vokabular

Aus jeder Folge <a_i> kann man eine Reihe <s_n> konstruieren mit

(wobei wir als Indizes für die Glieder von Folge und Reihe in diesem Artikel die natürlichen Zahlen einschließlich der Null verwenden; in manchen Anwendungen ist es üblich, die Null auszuschließen). Mit Hilfe des Summenzeichens kann die Reihe auch abgekürzt als

geschrieben werden. Die einzelnen Glieder der Reihe <s_n> heißen auch Partialsummen der Folge <a_i>. Wenn <a_i> und damit auch <s_n> für unendlich viele Indizes i bzw. n definiert sind, spricht man von einer unendlichen Reihe. Wenn der Grenzwert

existiert, sagt man, die Reihe konvergiert; den Grenzwert S nennt man die Summe der Reihe (auch: Wert der Reihe). Mit Hilfe des Summenzeichens kann diese Summe auch abgekürzt als

geschrieben werden.

Eine Reihe <s_n> heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. Sie heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent, wenn die Teilsummen s_n gegen -∞ oder +∞ streben. Andernfalls heißt die Reihe unbestimmt divergent; dabei kann sie Häufungspunkte haben oder auch nicht.

Mit verschiedenen Konvergenzkriterien lässt sich feststellen ob eine Reihe konvergiert.

Beispiele

Für einige einfache endliche Reihen kann man die Summe explizit berechnen.

Der Beweis solcher Formeln erfolgt über vollständige Induktion. Weitere solche Summationsformeln finden sich in der Formelsammlung Algebra.

Eine klassische Reihe ist die geometrische Reihe, der Name ergibt sich aus der geometrischen Folge (a_n) = (qⁿ) (für n N). Die unendliche, geometrische Reihe ist also:

Weitere Beispiele endlicher Reihen findet man im Artikel Addition.

Dass unendliche Reihen konvergieren können, löste einige der Paradoxa von Zenon.

Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist

Diese Schreibweise bezeichnet nach der oben gegebenen Darstellung die Folge

Man kann die Konvergenz dieser Reihe auf der Zahlengeraden visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der aufeinanderfolgene Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind. Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgsamt 3/2 verbraucht, es bleiben also noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiteres 1/4 übrig, etc. Dieses Argument beweist zwar nicht, dass die Summe gleich 2 ist, aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also eine Obergrenze.

Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als

geschrieben.

Ein Beispiel für eine divergente Reihe mit mehreren Häufungspunkten ist die Summe über die Folge +1,-1,+1,-1,... Die Reihe wechselt zwischen den Werten 1 und 0 (die Folge hingegen wechselt zwischen 1 und -1).

Konvergenzkriterien

NB: Eine stärkere Eigenschaft als die einfache Konvergenz ist die Absolute Konvergenz.

Im Folgenden seien die Zahlen a_n stets reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als

Notwendige Bedingung
Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (a_n) der Summanden nach 0 für n->∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).

Majorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und für alle n gilt

a_n ≥ |b_n|

mit reellen oder komplexen Zahlen b_n, dann konvergiert auch die Reihe

und es ist |T| ≤ S.

Minorantenkriterium
Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und für alle n gilt

a_n ≤ b_n

mit nichtnegativen reellen Zahlen b_n, dann divergiert auch die Reihe

Quotientenkriterium
Wenn eine Konstante 0 < C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Wurzelkriterium
Wenn eine Konstante 0 < C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Integralkriterium
Ist f: [1, ∞) -> [0, ∞) eine nichtnegative, monoton fallendee Funktion mit

f(n) = a_n für alle n,

dann konvergiert S genau dann, wenn das Integral

existiert.

Leibniz-Kriterium
Eine Reihe der Form

mit nichtnegativen a_n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.

Beispiele

• Eine geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.

• Die Reihe konvergiert, wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion.

• Die Teleskopreihe konvergiert genau dann, wenn die Folge b_n für n->∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b₁ - L.

Potenzreihen

Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.

Fourierreihen

Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung als Summe von trigonometrischen Funktionen.

Siehe auch

1. Reihenentwicklung
2. Geometrische Reihe
3. Taylorreihe
4. Fourierreihe
5. Laurentreihe

Literatur

• K. Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 1996 (Neuauflage)

Links:

http://www.research.att.com/~njas/sequences/

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