Verschiebungssatz Bedeutung, Erklärung und Definition.
Der Verschiebungssatz ist eine Rechenregel fĂĽr die Ermittlung der Summe quadratischer Abweichungen.
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2 Formal 3 Anwendungen |
Erläuterung am Fall einer endlichen Folge von Zahlen
Der Verschiebungssatz wird zunächst am einfachsten Fall vorgeführt: Es ist eine Folge von reellen Zahlen xi gegeben, beispielsweise eine Stichprobe. Es wird die Summe Q der quadratischen Abweichungen der Einzelwerte xi vom Durchschnitt, dem arithmetischen Mittel dieser Werte gebildet:
Soll beispielsweise Q von Hand berechnet werden, erweist es sich als sehr umständlich, bei jedem Wert xi zunächst eine Differenz zu bilden und diese dann zu quadrieren. Hier kann man zur Vereinfachung der Berechnung den Verschiebungssatz anwenden. Es gilt nämlich, dass auch
Im Rahmen der Qualitätssicherung wurden 5 Kaffeepäckchen gewogen. Man erhielt die Werte (in g) xi
Beispiel
Das durchschnittliche Gewicht beträgt
Es ist
Mit dem Verschiebungssatz erhält man
Man kann damit beispielsweise die Varianz der Stichprobe bestimmen:
Formal
Die Varianz als Erwartungswert
Die Kovarianz zweier Zufallsvariablen X und Y lässt sich als E((X-EX)(Y-EY))angeben.
Für diskreten Zufallsvariablen erhält man für
Bei stetigen Zufallsvariablen ergibt sich mit f(x;y) als gemeinsamer Dichtefunktion von X und Y an der Stelle x und y fĂĽr die Kovarianz
Für die Stichproben-Kovarianz zweier Merkmale x und y benötigt man
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Varianz
lässt sich mit dem Verschiebungssatz auch angeben als
Man erhält bei einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Ausprägungen Xj (j = 1, ..., m) und der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit f(xj) dann für
entsprechend zu oben
FĂĽr eine stetige Zufallsvariable X mit den Ausprägungen Ω = {x| x ∈ R} und der dazugehörigen Dichtefunktion f(x) ist
Man erhält hier mit dem VerschiebungssatzKovarianz
entsprechend zu oben
mit f(xj; yk) als gemeinsamer Wahrscheinlichkeit, dass X = xj und Y = yk ist.
entsprechend zu obenStichproben
Hier ergibt der Verschiebungssatz
Die Stichproben-Kovarianz berechnet sich dann als